Matematycy mają problemy, do których rozwiązania pcha ich z jednej strony 
ciekawość, z drugiej ambicja, chęć pokonania trudności, które sami 
przed sobą piętrzą. Można to porównać do wspinaczki górskiej.

Rozmowa z prof. Andrzejem Białynickim Birulą 
z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego, 
laureatem tegorocznego konkursu Fundacji na rzecz Nauki Polskiej 
„Subsydia dla uczonych”.

Zgłosiłem się do konkursu z programem: geometria algebraiczna - na pewno szerszym niż te, które z nim konkurowały w zakresie matematyki. Geometria algebraiczna to duży dział a nie kierunek badań.

- Termin sugeruje pogranicze albo syntezę kierunków znanych z nazwy każdemu.

- I w pewnym sensie tak jest. Geometria algebraiczna zajmuje się badaniem zbiorów rozwiązań układów równań wielomianowych. W szkole uczymy się - matematycy zresztą tak to traktowali w ciągu wieków - że dany jest jakiś układ równań, dany jest jakiś zbiór rozwiązań i należy badać własności tego zbioru. Tymczasem rzecz jest bardziej skomplikowana.

- Czy można wskazać główne pytania, na jakie matematycy zajmujący się tą dziedziną pragną odpowiedzieć?
- Jest ich wiele. Przede wszystkim są pytania globalne, dotyczące całości zbioru. Są również pytania lokalne, dotyczące zachowania się różnych rozwiązań „w pobliżu” jakiegoś jednego rozwiązania. Jeżeli np. zbiorem wszystkich rozwiązań danego układu równań są dwie linie proste przecinające się, to punkt ich przecięcia jest miejscem wyróżnionym, ma inne, szczególne własności w porównaniu z punktami leżącymi na każdej z tych prostych.

- Proszę teraz powiedzieć dokładniej, czym jest, w obrębie matematyki, geometria algebraiczna?
- To jeden z centralnych działów matematyki. Wynika to stąd, że tego rodzaju zbiorów, które są zbiorami wszystkich rozwiązań jakiegoś układu wielomianowego, spotyka się bardzo wiele. Występują bądź to w „praktyce matematycznej”, bądź w zastosowaniach matematyki do innych dziedzin nauki albo do techniki. Chciałoby się więc wiedzieć, jak wyglądają ich rozwiązania, jakie mają własności geometryczne. Wielomiany to pojęcie algebraiczne, można zatem z jednej strony badać je za pomocą pojęć geometrycznych, jak powiedziałem, z drugiej zaś - pojęcia geometryczne tłumaczyć na pojęcia algebraiczne. Jest to bardzo interesujące, a stosuje się wyrafinowane metody przejęte z topologii albo wypracowane dla potrzeb geometrii algebraicznej.

- Jest to, jak rozumiem, dziedzina o długiej tradycji. Czy dużo zostało do zrobienia?
- Geometria algebraiczna będzie istniała i rozwijała się do końca świata.

- Czy nie dotyczy to całej matematyki?
- Nie. Są takie działy, które się wyjaławiają po pewnym czasie. Pozostają w nich problemy uważane za nierozwiązywalne i z punktu widzenia całej matematyki nie warto się nad nimi trudzić. Geometrii algebraicznej to nie grozi. W ciągu ostatnich lat pojawiły się nowe jej zastosowania w teorii liczb. Jeden z podstawowych, bardzo spektakularnych problemów matematyki - wielkie twierdzenie Fermata - zostało, po wiekach, niedawno udowodnione z pomocą geometrii algebraicznej. W trakcie rozwiązywania tego problemu powstało wiele metod teorioliczbowych, które służą teraz do rozwiązywania innych zagadnień.

- W obrębie matematyki?
- Fizycy interesują się ostatnio pograniczami geometrii algebraicznej i fizyki, dlatego że zajmuje ich geometria istniejącego świata i potrzebują modeli matematycznych do jej badania. Właśnie te metody wypracowane przy dowodzeniu twierdzenia Fermata budzą nadzieje fizyków.

- Czy to fizycy pytają matematyków, czy też matematycy proponują im swoje metody?
- Różnie to bywa. Fizycy, posługując się metodami i językiem geometrii algebraicznej, chcieliby o pewnych jej pojęciach wiedzieć więcej niż aktualnie wiedzą matematycy i podają nam konkretne problemy, a nawet czasem przewidują ich rozwiązania.

- Skąd matematyka czerpie inspiracje? Laikom wydaje się, że jest ona szczególnym sposobem zaspokajania specyficznej ciekawości, zajęciem, które samo przez się sprawia satysfakcję i (może?) wyczerpuje aspiracje.
- Matematycy rzeczywiście robią wiele rzeczy z ciekawości. Denerwują się, jeśli nie wiedzą, jak rozwiązać problemy wydawałoby się zupełnie proste - jak wspomniane twierdzenie Fermata, o którym sam autor napisał, że zna dowód, ale na marginesie książki, gdzie to zanotował, nie da się go zmieścić. Jestem przekonany, że ta uwaga jest fałszywa. Wspomniałem o tym, żeby wytłumaczyć, że matematycy mają - interesujące dla nich i ważne - problemy, do których rozwiązania pcha ich z jednej strony ciekawość, z drugiej ambicja, chęć pokonania trudności, które sami przed sobą piętrzą. Można to porównać do wspinaczki górskiej - chce się koniecznie wejść na szczyt i zobaczyć, jak to wygląda po drugiej stronie łańcucha górskiego. Bardzo często przy tym okazuje się, nawet jeśli startujemy od jakiegoś problemu, zdawałoby się zupełnie oderwanego, że metody użyte albo wynalezione przy jego rozwiązywaniu znajdują później zastosowanie w innej dziedzinie nauki, a nawet w praktyce. Można mieć nadzieję, że we wszystkich przypadkach tak będzie.

- Czy właśnie metody są tym, co matematyka daje innym naukom i poprzez nie - praktyce?
- Można tak powiedzieć. Matematyka, mówiąc ogólniej, daje innym naukom język odpowiedni do budowania potrzebnych im modeli różnych zjawisk i procesów zachodzących w świecie. Są modele fizyczne, chemiczne, lingwistyczne, socjologiczne... Na drodze pewnej abstrakcji, z użyciem pojęć matematycznych, powstaje taki nierzeczywisty świat, który jest przybliżeniem świata realnego i daje się badać. Gdyby nie było języka matematycznego, fizycy nie mieliby np. zasobu pojęć koniecznego do budowania takich modeli, jak mechanika kwantowa czy teoria względności.

- Zasób pojęć matematycznych jest niejako pierwotny w stosunku do innych nauk?
- Tak, one istnieją w pewnym nadmiarze. Inne nauki mogą wybierać to, co im potrzebne.

- A sama matematyka rozwija się niezależnie od kontaktów z innymi naukami?
- W dużej mierze tak. Otrzymuje jednak bodźce, np. z techniki, informatyki, o fizyce już mówiłem. Żeby korzystać z pojęć matematycznych, trzeba mieć dobrze sprecyzowane własne pojęcia, czyli może to czynić nauka co najmniej „dosyć ścisła”.

- Do badań literackich trudno zaprząc matematykę, gdyż dużo tam subiektywizmu, indywidualnej wyobraźni...
- Ale do opracowania słownika Norwida - można.

- Czy ma Pan ochotę na kontakty z innymi specjalistami?
- Teoretycznie tak, ale to wymaga sporego wysiłku obu stron. Zwykle w kontaktach z innymi specjalistami trzeba długo wyjaśniać, co kto przez co rozumie.

- Na co przeznaczy Pan subsydium fundacji?
- Ogólnie mówiąc - na współpracę. W Warszawie rozwijają się od dość dawna badania tej problematyki, którą nazwałem na początku globalną. W Krakowie jest spora grupa ludzi zajmująca się zagadnieniami bardziej lokalnymi. Kontakty są dotychczas raczej nikłe - ze szkodą dla obu ośrodków. Mam nadzieję, że uda mi się rozwinąć współpracę, że będę mógł urządzać wspólne konferencje, dofinansowywać wymianę wykładowców, uczestników seminariów itd. Będę się przy tym starał wspierać przede wszystkim młodych. Grono bardzo dobrych matematyków kończy właśnie Uniwersytet Warszawski. Nie wszyscy chcą się zajmować dokładnie geometrią algebraiczną, ale nie trzeba wykreślać sztywnych granic. Samą tę dziedzinę trudno byłoby oddzielić od topologii, algebry, geometrii zespolonej, od jeszcze innych kierunków.

- Jak wyglądają nasze ośrodki na tle światowym?
- Geometria algebraiczna nie miała w Polsce żadnych tradycji. Kiedy po pierwszej wojnie powstała Polska Szkoła Matematyczna, zajęto się teorią mnogości, teorią zbiorów, która wtedy była nowością. Nie mieliśmy szans, żeby dojść do czołówki w działach klasycznych, które rozwijały się na świecie długo, nieprzerwanie, poprzez kształcenie kolejnych pokoleń w dużych, dobrych ośrodkach. W nowych działach kontakty międzynarodowe są zawsze żywsze i łatwiejsze.

- A kiedy zaczęła się u nas geometria algebraiczna?
- Trudno mi tu być skromnym, ponieważ byłem pierwszy. Wróciłem w latach pięćdziesiątych z doktoratem z tej dziedziny ze Stanów Zjednoczonych i postanowiłem dalej się nią zajmować. W Krakowie inicjatywę podjął prof. Stanisław Łojasiewicz, którego interesowała raczej geometria analityczna, ale z tego pnia wyrósł ośrodek krakowski, o którym mówiłem przed chwilą.

- Czy znalazł Pan chętnych uczniów?
- O, tak. Moi uczniowie i ich uczniowie wyszli poza ramy geometrii algebraicznej, którą ja uprawiałem i tworzą w tej chwili silny, rozległy tematycznie ośrodek, widoczny w Europie i dalej.

- Czy do uprawiania geometrii algebraicznej niezbędne są komputery?
- Komputer służy matematykowi w dwóch celach. Po pierwsze, jest świetną maszyną do pisania, bez której nie wyobrażam już sobie pracy. Po drugie - i to jest właściwe wykorzystanie - służy do obliczeń czy nawet do badania rzeczywistości matematycznej - eksperymentalnie. Ja sam z tego nie korzystam, ale wielu moich kolegów posługuje się komputerem do sprawdzania kolejnych hipotez, zanim zaczną rozwiązywać jakiś problem. Z pomocą ołówka byłoby to niemożliwe. Trzeba jednak powiedzieć, że niektórzy matematycy kwestionują tę drogę utrzymując, że jeżeli dowód twierdzenia został uzyskany dzięki komputerowi, który pokazał, iż w każdym z przypadków „jest dobrze”, to nie pozwala to matematykowi wyobrazić sobie, dlaczego dane twierdzenie jest prawdziwe. W gruncie rzeczy, mając wyniki z komputera, powinno się usiąść nad twierdzeniem i „zrobić” od początku do końca jego dowód - przekonujący dla każdego matematyka. Są też tacy, którzy uważają, że twierdzenia w ogóle nie mają tak wielkiego znaczenia, że o wiele ważniejsze jest samo rozumowanie oraz metody prowadzące do sformułowania dowodu; te wzory rozumowania, które można powtórzyć. U współczesnego matematyka jest to zwykle najpierw odpowiednie ułożenie znanych już (matematyka rozwija się od wieków) rozumowań, następnie dodanie czegoś zupełnie nowego. Pojęcia matematyczne są niesłychanie rozbudowane - jedno korzysta z drugiego, powstają wielopiętrowe konstrukcje, coraz bardziej skomplikowane.

- Wyobrażam sobie, że cały ten świat, jaki tworzą matematycy, jest dla nich bardzo ponętny.
- Cudem jest to, że przylega on jakoś do świata rzeczywistego.

- Cudem?
- Może niezupełnie, bo jednak pierwotne pojęcia matematyczne wywodzą się ze świata rzeczywistego. Pojęcie liczb naturalnych służyło ludziom do porządkowania ich otoczenia. Pojęcia geometryczne, np. linia prosta to jest przedłużenie w nieskończoność cięciwy łuku czy toru promyka świetlnego, płaszczyzna to jest blat stołu, przy którym siedzimy itd.

- Czy dzisiaj pojęcia matematyczne powstają podobnie?
- I tak, i nie. Na przykład różne kształty występujące w świecie stają się pewną intuicją dla matematyków, jakimś przewodnikiem w myśleniu.

- Czy Pan profesor robi coś poza matematyką?
- Robię wiele rozmaitych rzeczy. Interesuję się sztuką gotycką, zwłaszcza rzeźbą i rzemiosłem artystycznym. To mnie dość mocno pochłania.

- Widać to w domu. Wokół mnóstwo pięknych starych przedmiotów...
- Co gorsze, uważam, że się na tym nieźle znam. Zespół mis to największy zbiór w Polsce. Nie uważam się za kolekcjonera, raczej za miłośnika. Staram się mieć te przedmioty, które lubię, niekoniecznie pasujące do jakiejś tam serii. Mam też zbiór średniowiecznych garnków glinianych. Pociąga mnie ich faktura, ich ciekawy, ziemisty kolor, no i to, oczywiście, że mają po kilkaset lat.

- Jak Pan zbiera?
- Dawniej kupowałem te przedmioty na różnych targach staroci, jak to się u nas nazywa. Coraz trudniej tam coś znaleźć, uzupełniam zbiory głównie poprzez wymianę. Mam gradację i to, co mniej ważne, gotów jestem oddać za coś dla mnie cenniejszego. Zbieram także zabytki etnograficzne - czerpaki, szufle, ostatnio kupiłem radło. One są w moim „majątku na Litwie”, tj. w dwóch chałupach za Białymstokiem, dokąd często jeżdżę (urodziłem się w Nowogródku) i spędzam tam wiele czasu na różnych pracach fizycznych, takich jak pielenie, sadzenie itp.

- O ile wiem, niejeden matematyk ma jakąś zupełnie inną pasję.
- To jest potrzebne, żeby się nie wypalić. Matematyka nigdy nie jest pasmem sukcesów i nieustającym stanem satysfakcji. Nawet najwięksi mają problemy, których nie potrafią rozwiązać.

- Całe szczęście.
- Całe szczęście, ale wtedy dobrze jest mieć właśnie tę pasję, która pozwala oderwać się na jakiś czas. Najcenniejszą jest, naturalnie, dydaktyka.

- Czego w kształceniu matematyków jest więcej: przekazywania wiedzy czy tego, co nazywamy formacją?
- Każdemu z nas najbardziej zależy na tym, żeby u słuchaczy wytworzyć obraz danej dyscypliny matematycznej, której uczy jako całości, pokazać wzajemne zależności między twierdzeniami, metody i sposoby rozumowania, które mają znaczenie bardziej uniwersalne. Staramy się kształtować intuicję, która nie wiem skąd pochodzi, ale bardziej chyba ze świata matematycznego, z tego, co matematycy sobie wyobrażają. Można to w pewnym stopniu przekazać i to jest najważniejsze. No i trzeba uczyć rzetelności, którą zresztą wymusza sama matematyka.

Rozmawiała 
Magdalena Bajer

Uwagi.