Strona główna

Archiwum z roku 2002

Spis treści numeru 3/2002

Świat niedookreślony
Poprzedni Następny

Badania naukowe

Wierzymy, że świat matematyczny jest odbiciem rzeczywistego, 
wobec tego matematyka mówi nam nie o świecie urojonym 
w głowach matematyków, ale istniejącym wokół.

Rozmowa z prof. Ludomirem Newelskim,
matematykiem, laureatem Nagrody FNP za rok 2001

Fot. Stefan Ciechan

Prof. dr hab. Ludomir Newelski (ur. 1960), matematyk. Ukończył studia matematyczne w Uniwersytecie Wrocławskim, doktorat w Instytucie Matematycznym PAN, gdzie pracował do 1994 r., habilitacja w 1991 r., tytuł profesora w 1998. Od 1994 r. pracuje w UWr. Jest specjalistą w dziedzinie teorii modeli, teorii mnogości, podstaw matematyki, algebry.
Nagrodę FNP otrzymał za prace na temat logicznych podstaw matematyki związanych z klasyfikacją modeli teorii pierwszego rzędu, których głównym przedmiotem jest hipoteza Vaughta, dotycząca liczby modeli przeliczalnych teorii matematycznej. Wyniki prac prof. Newelskiego, a także rozwinięte przez niego w ich trakcie narzędzia, pozwalają lepiej zrozumieć naturę pewnych podstawowych struktur matematycznych, np.: grup, ciał i związanych z nimi geometrii. Stanowią znaczący postęp w procesie udowadniania hipotezy Vaughta.

Czy matematyka jest bardziej poznawaniem świata, czy jego „wymyślaniem”?
– Jest to podstawowe pytanie dotyczące filozofii matematyki. Można by na ten temat napisać książkę.

– Myślę, że tylko filozofia matematyki jest dostępna laikom i bardzo dla nich interesująca.
– Może. Ja myślę, że matematycy uważają swoją dziedzinę za badanie pewnego abstrakcyjnego świata, istniejącego w ich umysłach, istniejącego „w pewnym sensie”, w sensie idealnym, duchowym. Jeśli jednak poprosimy o bardziej szczegółową odpowiedź, a zwłaszcza zapytamy właśnie filozofów matematyki, powiedzą, że ten świat badany nie istnieje zupełnie samoistnie, tylko przez siebie i tylko dla siebie – on jest w pewnej odpowiedniości ze światem materialnym, ze światem ludzkich doświadczeń, ludzkiej praktyki. W związku z tym wydaje mi się, że wszystkie pojęcia tego abstrakcyjnego, idealnego matematycznego świata, badane przez matematyków, są właśnie abstrakcjami, uogólnieniami pojęć funkcjonujących bądź zjawisk występujących w świecie realnym, materialnym nawet. Tak np. figury geometryczne – punkt czy prosta – gdy je rysujemy na tablicy, mają jakąś konkretną grubość, zależną od grubości kredy do rysowania, ale w umyśle matematyka ta grubość jest nieskończenie mała. I w tym sensie konkretny model abstrakcyjnego pojęcia, który się pojawia na tablicy, jest jedynie przybliżeniem pojęcia punktu czy prostej.

– Co jest na samym początku, zanim matematycy narysują punkt albo prostą i utworzą w umyśle ich modele?
– Najpierw była rzeczywistość, były te problemy, które ludzie napotykają w swoim życiu codziennym czy też w praktyce badawczej, np. w naukach przyrodniczych, i powstało zapotrzebowanie na uogólnienia, na abstrakcyjne pojęcia matematyczne. Żeby jakoś sformułować krótką odpowiedź na pani pytanie: z jednej strony, matematyk tworząc ten abstrakcyjny świat – zwłaszcza w matematyce współczesnej, gdzie wielu wybitnych właśnie tworzy nowe pojęcia – ma swobodę w tym, w jaki sposób ujmie dane zjawisko matematyczne, na które jego aspekty położy nacisk, a więc ma swobodę w kształtowaniu nowego fragmentu rzeczywistości matematycznej. Patrząc jednak na to z niejako wyższego poziomu, można powiedzieć, że wszystkie pojęcia matematyczne mają odniesienie do świata realnego.

Posłużę się przykładem z biologii. Życie na Ziemi, w takiej formie, w jakiej widzimy je obecnie, jest wynikiem wielu przypadkowych, można powiedzieć, uwarunkowań. I gdyby tylko jeden z parametrów środowiska na Ziemi był nieco inny, życie wyglądałoby zapewne inaczej. Inny przykład, przytaczany często przez probabilistów: wyobraźmy sobie cegłę, która spada z dachu i rozbija się na ziemi. Odpryski układają się w pewien sposób. Prawdopodobieństwo, że ułożą się właśnie tak, a nie inaczej, jest bliskie zeru, natomiast to, że cegła spadając z dachu rozbije się i odpryski jakoś tam się ułożą – jest niemal pewne. W tym sensie można powiedzieć, że świat matematyki, stworzony przez ludzi, zależy od osobistych talentów, predyspozycji tych ludzi, ale samo jego powstanie wydaje się konieczne.

– Z powodu właściwości ludzkiego umysłu, mózgu?
– Mózgu też, ale jest, moim zdaniem, naturalną i konieczną konsekwencją rozwoju ludzkiej cywilizacji, kultury.

– Interesuje mnie, jakie cechy umysłu warunkują to, że ktoś się zajmie matematyką, poświęci się tworzeniu matematycznego świata?
– Muszę się zastrzec, że jako matematyk nie jestem predestynowany do odpowiadania na to pytanie. Należałoby je skierować do psychologów, psychologów nauki...

– Proszę powiedzieć, czemu zajął się Pan matematyką?
– Pyta pani o dwie różne rzeczy. Pierwsza: jakie cechy umysłu predestynują do zajęcia się matematyką bądź też świadczyć mogą o matematycznych uzdolnieniach. Druga: co powoduje, że konkretny człowiek staje się matematykiem.

– Zacznijmy od drugiego. Słyszę nierzadko, że komuś sprawiało przyjemność rozwiązywanie zadań w szkole i wybrał studia matematyczne...
– Przyjemność taka niekoniecznie świadczy o zdolnościach. Wielu olimpijczyków nie sprawdza się w uprawianiu matematyki. Jesteśmy więc przy pierwszym z pani pytań. Otóż, wydaje mi się, że zdolności matematyczne wiążą się z umiejętnością abstrakcyjnego myślenia i operowania abstrakcyjnymi, symbolicznymi niemalże, pojęciami. Z tych pojęć trzeba – w umyśle – umieć tworzyć nawarstwiające się konstrukcje.

Teraz drugie – nie można powiedzieć, że każdy z tych samych przyczyn zajmuje się matematyką. Niektórzy traktują to jak... sportową rywalizację. W matematyce, inaczej niż w wielu dziedzinach wiedzy – humanistycznych, a nawet ścisłych – kryteria wartości osiągnięcia naukowego są w miarę precyzyjne. Jeżeli ktoś formułuje jakieś pytanie, jakiś problem otwarty, to ten, kto pierwszy na to pytanie odpowie, kto rozwiąże ten problem, jest lepszy od innych. Historia matematyki pokazuje taką rywalizację. Stefan Kulczycki w książce Opowieści z dziejów liczb opisał nadwornych matematyków i astronomów epoki renesansu, którzy zabawiali się zadawaniem sobie nawzajem trudnych do rozwiązania równań. Takie widzenie matematyki bywa, zwłaszcza dla młodych ludzi, bardzo pociągające. Na dłuższą metę jednak jest zwodnicze i błędne.

– Dlatego, że stawia na równi formułowanie problemów i ich rozwiązywanie? Mnie, laika, zastanawia, co jest ważniejsze?
– Kiedyś byłem na obozie przygotowawczym do olimpiady międzynarodowej i przyszli redaktorzy z radia, którzy pytali podobnie jak pani. Myślałem wtedy, że zadaniem matematyka jest rozwiązywanie zadań, dowodzenie twierdzeń, a jeden z moich kolegów (nazywał się Jerzy Sawa, pochodził z Włodawy) powiedział, że równie ważne jest samo tworzenie „matematycznej materii”, formułowanie problemów, wymyślanie nowych pojęć. Byłem zaskoczony takim ujęciem, ale teraz myślę, że to właśnie jest istotą matematyki – badanie abstrakcyjnego świata w sposób bardzo zbliżony do tego, jak przyrodnicy badają świat rzeczywisty. Oni tworzą sobie nowe przyrządy – astrolabium, mikroskop. Tak samo matematycy wymyślają nowe narzędzia do zbadania tych zjawisk, które postrzegają w matematycznym świecie. Wielcy matematycy mają największą zasługę w tym, że tworząc nowe narzędzia jednocześnie poszerzają świat badany.

– Który sami matematycy „wymyślili”?
– Świat matematyczny powstawał, początkowo, z codziennych doświadczeń i coziennych potrzeb ludzi. Przecież liczb naturalnych używano od niepamiętnych czasów. Operacje matematyczne na liczbach naturalnych, związane z handlem, pieniędzmi, znamy od starożytności. Bardziej zaawansowana matematyka, ta bliższa współczesności, ma źródła w świecie nauk szczegółowych, gdzie wykorzystuje się metody matematyczne w badaniach. Na własny użytek tak to formułuję: matematycy dostarczają – w odległym, powiedziałbym, sensie – pewnych struktur myślenia, pewnych szablonów teoretycznych, które mogą być używane do poznawania świata rzeczywistego. Tak widzę rolę matematyki.

– A Pana rola w matematyce?
– Moja rola jest mało związana z tą przydatnością innym naukom, co wynika z mojej drogi do matematyki. Zaczęło się od lektury, chyba w piątej klasie szkoły podstawowej, pięknej książki Szczepana Jeleńskiego Śladami Pitagorasa, do której i dzisiaj czasami zaglądam. Zobaczyłem inną matematykę niż na lekcjach. Zaintrygowała mnie bardzo geometria i badanie liczb, taka, powiedziałbym, elementarna teoria liczb, np. problem liczb bliźniaczych – do dzisiaj otwarty. Starałem się samodzielnie odkrywać różne prawa. Nawiasem mówiąc, później dowiedziałem się, że podobne rzeczy robił w młodości Pascal. W szkole średniej czytałem radzieckie czasopismo dla uczniów „Kwant” (także „Deltę”). Zauważyłem kiedyś przypis mówiący, że w dowodzie jakiegoś tam twierdzenia musimy użyć metody indukcji matematycznej, że aby zrozumieć, dlaczego należy tak właśnie postępować, trzeba mieć wiedzę z logiki matematycznej. Zafascynowało mnie to, że o matematyce można myśleć jak gdyby z metapoziomu – zastanawiać się nad dowodem matematycznym rozważając, czy jest on w ogóle możliwy, czy i w jaki sposób można dowodzić twierdzeń. Zainteresowałem się logiką matematyczną i ona odsłoniła mi inne oblicze matematyki, to bardziej filozoficzne. Później, na studiach, nie byłem pewien, czy te zainteresowania zwyciężą. Zwyciężyły – zająłem się właśnie logiką matematyczną, a szczególnie teorią modeli, która jest skonkretyzowaniem tych idei.

– Proszę przybliżyć czytelnikom teorię modeli.
– Teoria modeli ma dwa źródła. Z jednej strony, są to pytania dotyczące filozoficznych podstaw matematyki, z drugiej, współcześnie, jej źródłem są bardziej konkretne badania matematyczne dotyczące przede wszystkim pewnych struktur algebraicznych.

Trzeba tu powiedzieć nieco o historii logiki matematycznej w XX wieku i na tym tle o miejscu teorii modeli w matematyce. Logika, pochodząca ze starożytności, od Arystotelesa, stała się na przełomie XIX i XX wieku jednym z narzędzi do uściślania matematyki, która nie zawsze była nauką tak ścisłą, jak dzisiaj. Dowiedziałem się niedawno od kolegi zajmującego się historią matematyki, że w wieku XVII na ziemiach polskich wielokrotnie pisano prace doktorskie „rozwiązujące” problem... kwadratury koła. W XIX wieku udowodniono, że jest to problem nierozwiązywalny. Pokazuje to, jak matematyka borykała się ze swoją „nieścisłością”. W XIX wieku matematycy zaczęli dążyć do uściślania pojęć. Metodą była formalizacja – na gruncie logiki oraz teorii mnogości, teorii zbiorów. Na przełomie wieków powstał w związku z tym „program Hilberta” zawierający pytanie o możliwości wyciągnięcia pewnych daleko idących konsekwencji z formalizacji matematyki.

– Trudno to pojąć niematematykom...
– Może ułatwi to takie porównanie: jeżeli popatrzymy na matematykę, jak na naukę sformalizowaną opartą na systemie aksjomatów, to dowodzenie twierdzeń możemy porównać do gry w szachy. Na szachownicy mamy układ figur, które gracze – zgodnie z pewnymi regułami – przesuwają. Analogicznie, dowodzenie twierdzeń polega na tym, że mamy układ aksjomatów i zgodnie z regułami wyciągamy z nich wnioski. Można by sobie wyobrazić taki komputer, który wypisywałby wszystkie twierdzenia, czyli wnioski z danego układu aksjomatów. Hilbert postawił pytanie, powiedziałbym, ogólniejsze, o algorytm, o metodę sprawdzania, czy dane twierdzenie jest „dowodliwe” z danego układu aksjomatów. Inne pytanie: czy można sformułować system aksjomatów zupełny, tj. taki, w którym każda hipoteza może być rozstrzygnięta? Były to wielkie pytania związane z formalizmem, którego przedstawicielem filozoficznym był właśnie Hilbert.
Przełomem w matematyce XX wieku i, wydaje mi się, w całej nauce, stały się twierdzenia Goedla z lat trzydziestych. Goedel odpowiedział negatywnie na obydwa pytania Hilberta. Udowodnił, że, po pierwsze, nie jesteśmy w stanie sformułować takiego systemu aksjomatów, takiej teorii, która rozstrzygałaby wszystkie hipotezy, a po drugie, mając system aksjomatów nie jesteśmy w stanie stworzyć metody, która pozwalałaby rozstrzygać, czy dane twierdzenie jest konsekwencją naszych aksjomatów. Nie da się więc zbudować takiego komputera, który zastąpiłby twórczego matematyka.

– Pocieszające...
– Można powiedzieć, że idee rozwinięte przez Goedla i potem przez Alfreda Tarskiego, który sformułował twierdzenie o niedefiniowalności prawdy, dotyczące również filozoficznych podstaw matematyki, przyniosły upewnienie o niemożności formalnego zdefiniowania pojęcia prawdy – tego arystotelesowskiego – na gruncie logiki formalnej. I te wielkie odkrycia sprawiły, że metamatematyka... stała się matematyką.

– Co to znaczy?
– Ująłbym to tak: rozważania logików matematycznych mają równie precyzyjny charakter jak rozważania matematyków. Inaczej mówiąc, w logice matematycznej stosuje się metody matematyczne, coraz bardziej zaawansowane. Być może to jest jedno z największych osiągnięć tej logiki, że wzniosła się na dużo wyższy poziom abstrakcji. Na tym tle powstała teoria modeli. Jej ojcami są: logik Alfred Tarski i matematyk Abraham Robinson. Idea była taka, że jeśli metoda matematyczna polega na wyciąganiu wniosków z teorii, to być może coś o możliwości wyciągania tych wniosków i o samej „rzeczywistości matematycznej”, powie nam badanie wszystkich możliwych, abstrakcyjnych, potencjalnych modeli tejże teorii, niejako wszystkich jej wersji. W tych modelach uzewnętrzniają się cechy rzeczywistości matematycznej jakby powiększone, wypreparowane i umieszczone pod mikroskopem.
Według mnie, odkrycia Goedla i Tarskiego można porównać do przełomu, jakim były odkrycia Einsteina w fizyce. Zwróciły one uwagę na względność pewnych podstawowych pojęć matematycznych, pokazując, że jakieś twierdzenie może być prawdziwe w danym modelu, wybranym, a w innym modelu (tej samej teorii) nie będzie prawdziwe. Wskazały również na ograniczoność możliwości badawczych w matematyce. Matematyk, mianowicie, wyraża swoje twierdzenia w języku – mniej lub bardziej formalnym, mniej lub bardziej precyzyjnym – a ten język ma ograniczone środki wyrazu. Twierdzenia Goedla o niezupełności i nierozstrzygalności teorii matematycznych ujawniły to, że nigdy nie będziemy w stanie sformułować teorii, która pozwoliłaby odpowiedzieć na wszystkie pytania, jakie zdołamy wymyślić.

Teoria modeli skupiła się na rozwinięciu idei Goedla. Jednym z pytań, jakie sobie stawiamy my, zajmujący się nią, jest pytanie, które z własności modeli dadzą się wyrazić za pomocą języka. Jest to badanie granic poznania w tych abstrakcyjnych modelach. Zastrzegam, że bardzo to wszystko upraszczam.

– Nie dałoby się inaczej mówić o teorii modeli niematematykom.
– W ostatnich latach udało się teorię modeli rozwinąć w ten sposób, że zaczęła mówić coś interesującego „klasycznym” matematykom. Pojawiły się jej zastosowania m.in. w algebrze, geometrii algebraicznej, jak również do rozwiązywania wielkich problemów teorii liczb. Jest to pasjonujący kierunek rozwoju.

– Rozumiem, że właśnie tymi zagadnieniami Pan się zajmuje.
– Zajmuję się, z jednej strony, klasycznym nurtem teorii modeli, tym związanym z pytaniami filozoficznymi, a z drugiej strony, jej związkami z algebrą i analizą. W takiej perspektywie, powiedziałbym, logika i teoria modeli uzyskują pełniejszą legitymizację w obrębie matematyki.

– Jeśli dobrze rozumiem, twierdzenia Goedla stanowią dzisiaj nieprzekraczalny horyzont, trudno sobie wyobrazić, że mogłyby zostać zakwestionowane?
– Twierdzenia matematyczne mają to do siebie, że są – w pewnym sensie – absolutnie prawdziwe. W pewnym sensie, gdyż wiedza absolutnie prawdziwa może pochodzić tylko od Boga, natomiast jeżeli przyjmiemy założenia twierdzeń matematycznych, to ich wnioski są niepodważalne – w matematycznym świecie. Matematycy klasyczni wierzą, że pytania, które stawiają, są rozstrzygalne na gruncie tego formalizmu, jakim obecnie dysponują.

– Nie da się przewidywać rewolucyjnych przełomów...
– Oczywiście, że nie! Wydaje mi się, że w filozofii należałoby rozróżnić sposoby istnienia. O ile np. krzesło istnieje w sposób dający się stwierdzić zmysłowo przez każdego człowieka, o tyle liczby zespolone czy liczby rzeczywiste istnieją w sposób mniej „dotykalny”. Im dalej idziemy w abstrakcjach matematycznych, tym bardziej ich istnienie staje się umowne. Świat matematyczny jest niedookreślony, to chyba właściwe słowo. Być może jakieś jego fragmenty będą się z czasem okazywać prawdziwe albo nie.

– Czy dążeniem matematyków jest dookreślanie?
– Naszym dążeniem jest badanie świata, przede wszystkim świata matematycznego, w tym sensie można na to pytanie odpowiedzieć twierdząco. Ale wierzymy, że świat matematyczny jest odbiciem rzeczywistego, wobec tego matematyka mówi nam nie o świecie urojonym w głowach matematyków, ale istniejącym wokół. Dlatego można stosować matematykę w innych dziedzinach badań i w działaniach praktycznych. W podstawach matematyki pojawiają się problemy związane z niedookreślonością, z granicami świata, z granicami świata matematyki. Mnie to fascynuje.

Rozmawiała Magdalena Bajer

Komentarze