Strona główna „Forum Akademickiego”

Archiwum z roku 1998

Spis treści numeru 7-8/1998

Królowa nauk w XX wieku
Poprzedni Następny

Kończy się stulecie. Jakie osiągnięcia wniosła do nauki w XX wieku matematyka?

Krzysztof Ciesielski

Fot. Stefan CiechanNa pytanie o osiągnięcia matematyki w XX wieku nie da się udzielić odpowiedzi jednocześnie pełnej i w miarę krótkiej. Chcąc potraktować ten temat naprawdę poważnie, należałoby napisać książkę, a i wtedy jest niemal pewne, że - jakkolwiek ta książka nie zostałaby napisana - autor spotkałby się z licznymi krytycznymi komentarzami innych matematyków. Chodziłoby głównie o pominięcie lub niedostateczne zaakcentowanie pewnych faktów, wyników, teorii. Ten tekst należy traktować przede wszystkim jako serię uwag, których celem jest wyrobienie u Czytelnika pewnego obrazu osiągnięć matematyki w kończącym się właśnie stuleciu, ale w żadnym wypadku nie pretendujących do kompleksowego ujęcia całości. Nieunikniony jest również pewien wpływ poglądów autora na zawartość tekstu.

OGROM

Niejednemu wydaje się, że matematyka, nazywana "królową nauk", jest w dużej części nauką zamkniętą i to, co najważniejsze, zostało już zrobione. Naprawdę jest zupełnie inaczej. Zaskakuje w szczególności ogrom współczesnej matematyki. Pismo "Mathematical Reviews" publikuje wyłącznie kilkunastolinijkowe streszczenia prac naukowych (praktycznie jedynie prac badawczych, zawierających nowe rezultaty) z matematyki. Cała matematyka jest tam podzielona na mniejsze działy, by czytelnik mógł bez trudu znaleźć informacje o pracach z interesującej go tematyki. Wydawać się to może niewiarygodne, ale działów w klasyfikacji jest... ponad 5 tysięcy! W każdym z działów ukazuje się rocznie pewna liczba artykułów prezentujących nowe wyniki. Czasem takich prac jest rocznie w dziale kilkanaście, czasem kilkadziesiąt, czasem więcej niż sto. "Mathematical Reviews" recenzuje prace publikowane w przeszło trzech tysiącach pism (a nie są to wcale wszystkie matematyczne czasopisma, choć niewątpliwie wszystkie ważniejsze). Te liczby dobrze pokazują, ile nowego w matematyce stale się dzieje.

Nieuniknioną konsekwencją tak ogromnego rozwoju "królowej nauk" jest to, że dziś nie ma na świecie nikogo, kto dobrze orientowałby się w całej matematyce współczesnej. Nastała era specjalizacji. Oczywiście, zazwyczaj uczony zna się nie tylko na swojej "maleńkiej" działce, ukrytej pod jednym z kilku tysięcy haseł w "Mathematical Reviews"; w szczególności ci najwybitniejsi mają wiedzę imponująco rozległą. Jednak nikt dziś nie ogarnia umysłem całości. Powszechnie uważa się, że ostatnimi, którzy to potrafili, byli na przełomie XIX i XX wieku Henri Poincare i David Hilbert.

NOWE DYSCYPLINY

Wydaje się, że większość matematyków poproszona o krótkie i zwięzłe skomentowanie tego, co najważniejszego stało się w matematyce w XX wieku, odpowiedziałaby, że na pierwszym miejscu stawia nie tyle konkretne, pojedyncze rezultaty, ale powstanie nowych, fundamentalnych dziś, dyscyplin matematycznych. Niektóre z nich w ubiegłym stuleciu praktycznie w ogóle nie istniały; obecnie w większości uczelni wykłady z wielu spośród tych dziedzin stanowią podstawę programu studiów matematycznych. Nowe dziedziny matematyki albo wyodrębniały się z działów już istniejących, albo powstawały niezależnie, najczęściej dla potrzeb badań w innych dziedzinach. Jednym z modelowych przykładów jest topologia. Swoje korzenie ma ona w latach wcześniejszych. Pewne problemy, o których dziś wiadomo, że należy je zaliczyć właśnie do topologii, pojawiały się zwłaszcza w XIX wieku. Z biegiem lat zaczęto widzieć potrzebę istnienia oddzielnej dziedziny matematyki, zajmującej się, mówiąc potocznie, własnościami, które nie zmieniają się po przekształceniu badanego obiektu przez odwzorowanie ciągłe, czyli wyginaniu, rozciąganiu, ścieśnianiu, ale bez rozrywania. Brak wystarczająco ogólnych wyników związanych z takimi odwzorowaniami był coraz bardziej odczuwalny przede wszystkim w analizie matematycznej. Powstanie i rozwój topologii, bo tak nazwano tę dyscyplinę, miały miejsce w początkach stulecia. Duża w tym rola teorii mnogości.

Teoria mnogości, inaczej teoria zbiorów, zajmuje się zbiorami ogólnymi, nie zwracając uwagi na to, jakie konkretnie elementy wchodzą w skład danego zbioru. Nie jest istotne, czy to są punkty, funkcje, liczby czy na przykład bakterie. Wyniki teorii mnogości były fascynujące, ale i szokujące, gdyż prowadziły do wielu efektów, robiących wrażenie paradoksalnych i sprzecznych z dotyczasowymi intuicjami nieskończoności. Teoria powstała u schyłku XIX wieku i miała zarówno gorących zwolenników, jak i zajadłych przeciwników. W miarę upływu czasu przeciwnicy cichli.

BADANIE ROZMAITOŚCI

Teoria mnogości dostarczyła matematyce formalnego języka, który w szczególności umożliwił stworzenie precyzyjnych podstaw dla topologii. W latach dwudziestych topologia wręcz eksplodowała lawiną wyników. Wkrótce potem jej rozwój okazał się jeszcze bardziej imponujący. Z topologii nazywanej dziś topologią ogólną wyodrębniły się kolejne, niezwykle ważne działy - topologia algebraiczna, topologia różniczkowa. Topologia, którą niektórzy traktują jako uogólnioną geometrię, wydawać się może działem matematyki niezwykle odległym od algebry. Tymczasem okazało się, że liczne problemy topologiczne można przełożyć na język algebraiczny i dzięki temu je rozwiązać. Najważniejsze zagadnienia topologiczne dotyczą dziś rozmaitości (rozmaitości to, mówiąc potocznie, twory wyglądające lokalnie jak kawałek płaszczyzny czy przestrzeni, przy czym rozważa się także rozmaitości o znacznie większych wymiarach). Przy badaniu rozmaitości wielką rolę odgrywają nie tylko metody topologii czy algebry, ale także zaawansowanej, przeobrażonej na przestrzeni dziesięcioleci, analizy matematycznej i geometrii. I tu, na tym przykładzie, widzimy drugi z niezwykle istotnych aspektów dwudziestowiecznej matematyki, niezwykle zaskakujący w kontekście tego, co zostało napisane wyżej. Wydawałoby się, że przy tak wielkiej specjalizacji różne dziedziny matematyki oddalają się od siebie tak bardzo, że różnice między nimi są dziś większe niż kilkaset lat temu między całą matematyką i fizyką. I w pewnej mierze jest to prawda, ale nie cała. W wielu sytuacjach, zwłaszcza na odpowiednio zaawansowanym szczeblu, w pracy niezwykle przydatne są metody i rezultaty z innych, odległych działów matematyki.

Topologia algebraiczna jest tu jedynie skromnym przykładem. Innym, bardzo ważnym, jest współczesna teoria liczb. Swoją historią sięga ona starożytności, a liczne jej problemy mogą być sformułowane językiem bez trudu zrozumiałym dla uczniów. Tymczasem rozwiązania zagadnień rozmaitych własności liczb całkowitych często wymagają użycia bardzo zaawansowanych technik z wielu dziedzin matematyki, czasem pozornie mających mało wspólnego z liczbami całkowitymi. Jednym z najgłośniejszych wyników matematycznych XX wieku było udowodnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata. Andrew Wiles, który tego dokonał, wykazał się, oprócz ogromnej pomysłowości, olbrzymią erudycją, wykorzystując liczne, niezwykle trudne rezultaty z różnych działów matematyki.

ŁĄCZENIE DYSCYPLIN

Rozwój nowych dyscyplin nie zahamował wcale badań nad tymi klasycznymi. Niejednokrotnie jednak diametralnie różnią się dziś one od swojej postaci sprzed stulecia. Najlepiej widać to na przykładzie geometrii. Ta klasyczna, nazwijmy ją "szkolna", nie jest co prawda teorią zamkniętą i wiele - w tym pasjonujących - problemów czeka tam wciąż na rozwiązanie, nie są to jednak zagadnienia, które byłyby obecnie dla matematyki wiodące. Główna rola geometrii klasycznej to teraz edukacja, kształcenia w tym kierunku nie można nie docenić. Badania naukowe skierowały się jednak przeważnie zupełnie gdzie indziej. Obecnie czołowi matematycy świata zajmują się geometrią różniczkową, geometrią algebraiczną czy geometrią analityczną (tej ostatniej nie należy mylić ze szkolnym działem matematyki o tej samej nazwie). Dyscypliny te zajmują się badaniem pewnych geometrycznych cech specyficznie zdefiniowanych, abstrakcyjnych zbiorów. Nazwy "algebraiczna", "różniczkowa" wyraźnie sugerują powiązania z rachunkiem różniczkowym czy algebrą. I tu ponownie spotykamy się z łączeniem różnych dyscyplin matematycznych na zaawansowanym szczeblu.

W latach dwudziestych powstał dział matematyki nazwany analizą funkcjonalną. Badanie pewnych szczególnych funkcji i przestrzeni pod kątem własności rozważanych w analizie matematycznej doprowadziło do zdefiniowania przestrzeni nazwanych potem przestrzeniami Banacha i pracy nad rozmaitymi własnościami zarówno tych przestrzeni, jak i funkcji na nich określonych. Niezwykła siła, urok i zastosowania osiągniętych wyników prędko spowodowały wyróżnienie analizy funkcjonalnej jako samodzielnej dyscypliny matematycznej. Niewiele później określono formalną aksjomatykę działu, który w zasadzie istniał wcześniej, ale mało zauważalnie - rachunku prawdopodobieństwa. To pozwoliło na imponujący rozwój tej teorii, dzisiaj mającej niezwykłe i liczne zastosowania pozamatematyczne.

Dyscypliny takie, jak topologia czy analiza funkcjonalna, pochodzą sprzed ponad pół wieku, a dziś są dla matematyki podstawowymi. Nowe działy wciąż jednak powstają, a istniejące ewoluują, między innymi dzięki powstawaniu tych nowych. Metody topologiczne pozwoliły na istotną modyfikację badań w teorii równań różniczkowych. To z kolei umożliwiło powstanie nowego, niezwykle prężnie rozwijającego się działu - teorii układów dynamicznych. Pewne szczególne aspekty tej teorii w powiązaniu z klasycznymi dyscyplinami matematycznymi i możliwością wykorzystania potężnych technik komputerowych zaowocowały bardzo modną obecnie teorią chaosu i fraktali.

KATASTROFY DO WSZYSTKIEGO

Z nowymi teoriami może być jednak różnie. W tym kontekście warto wspomnieć o teorii katastrof. Powstała ona kilkanaście lat po drugiej wojnie światowej, utworzona przez jednego z najwybitniejszych matematyków naszego stulecia, Francuza Ren? Thoma. Upraszczając, teoria badała osobliwości odwzorowań różniczkowalnych, inaczej - analizowała, co dzieje się w sytuacjach, gdy "porządna" funkcja staje się "mniej porządna". Wzbudziła ona olbrzymie zainteresowanie, głośno o niej było w kręgach pozamatematycznych. Teoria znalazła liczne modele i zastosowania - wydaje się, że w efekcie jej sławy wiele z tych zastosowań zostało podanych "na siłę". Za pomocą teorii katastrof wyjaśniano strajki, problemy językowe, w zasadzie wszystko. Być może efektem tego właśnie było, że po pewnym okresie wielkiej sławy teoria odeszła w cień.

ZASTOSOWAĆ ABSTRAKCJĘ

Postać współczesnej matematyki teoretycznej jest teraz całkiem inna niż sto kilkadziesiąt lat temu. Matematyka zajmuje się z reguły obiektami bardzo abstrakcyjnymi, rzeczami nieraz wielce odległymi od tych, z którymi zapoznajemy się w szkole. Ktoś mógłby zapytać: A co z tego, czy nie jest to wyłącznie sztuka dla sztuki? Otóż nie. Choć niezwykle abstrakcyjne, współczesne teorie matematyczne mają szereg niezwykłych i zaskakujących zastosowań. Oczywiście, nie wszystkie. Dla części wyników zastosowań chwilowo nie widać, w wielu przypadkach znane zastosowania ograniczają się do wykorzystania w innych dyscyplinach matematycznych. Ale nie tylko - i nigdy nie wiadomo, do czego przydatne okazać się kiedyś mogą działy matematyki pozornie niezmiernie odległe od rzeczywistości. Któż mógł, na przykład, wcale nie tak dawno przypuszczać, że liczby pierwsze (czyli te podzielne jedynie przez siebie i jedynkę) będą miały olbrzymie zastosowanie w bankowości i wojskowości? Nie można też przecież zapomnieć o oczywistym dziś chyba dla każdego fakcie, że bez zaawansowanej matematyki nie byłoby lotów na Księżyc, komputerów czy Internetu. To też osiągnięcia matematyki XX wieku.

TYLE TWIERDZEŃ

Mowa była o matematycznych teoriach - a przecież na teorie składają się konkretne wyniki, twierdzenia. Wyliczono, że co roku publikowanych jest co najmniej kilkaset tysięcy (!) nowych twierdzeń matematycznych. Które wyniki są najważniejsze?

Wydaje się, że gdyby kilkunastu matematykom zaproponowano wybranie jednego, najważniejszego twierdzenia XX wieku, to część w ogóle odmówiłaby, uznając zadanie za niewykonalne, a są duże szanse na to, że każdy z tych, którzy podjęliby się odpowiedzi, zacytowałby inny wynik. Bo też wybitnych rezultatów w rozmaitych dziedzinach matematyki było w XX wieku naprawdę wiele. Można z nich utworzyć imponującą listę, zarówno problemów, które po dziesiątkach lat doczekały się rozstrzygnięcia, jak i tych nowych, wyrosłych w ramach nowych dyscyplin. David Hilbert wyraził niespełna wiek temu opinię, że najważniejszym nie rozstrzygniętym problemem matematycznym jest hipoteza Riemanna o miejscach zerowych funkcji nazywanej "dzeta Riemanna". Nie wnikając w treść hipotezy zaznaczmy jedynie, że jej rozstrzygnięcie miałoby olbrzymie konsekwencje w wielu działach matematyki. Problem ten pozostaje nie rozwiązany do dziś. Prawdopodobnie większość matematyków współczesnych uznałaby go i teraz za najistotniejsze nie rozwiązane zagadnienie "królowej nauk". Ważnych pytań, zarówno czekających od dawna na odpowiedź, jak i postawionych niedawno, jest znacznie więcej. Trudno poza tym przewidzieć, na jakie tory wkroczy matematyka za kilkadziesiąt lat. Pewne jest, że na matematyków czeka w XXI wieku wiele pracy. Zarówno naukowej, jak i związanej z wyrobieniem w społeczeństwie pewnego elementarnego wyczucia matematycznego - związanego choćby z uświadomieniem niejednemu dziennikarzowi, że XXI wiek zacznie się 1 stycznia nie 2000, ale 2001 roku. Przypomina się aforyzm wybitnego matematyka Hugona Steinhausa: Za granicą mówią: "X to dobry matematyk; z pewnością Polak". U nas mówią: "Y to prawdziwy Polak; z pewnością słaby matematyk".

POTĘGA MIĘDZYNARODOWA

Ten cytat nawiązuje do jeszcze jednego elementu, o którym nie można nie wspomnieć mówiąc o matematyce XX wieku - mianowicie o ogromnym udziale Polaków w rozwoju tej dyscypliny w ostatnim stuleciu. Do końca XIX wieku polska matematyka praktycznie nie liczyła się na świecie, a wkrótce po I wojnie światowej staliśmy się w tej nauce międzynarodową potęgą. Stefan Banach, współtwórca analizy funkcjonalnej, jest dziś, obok Mikołaja Kopernika i Marii Skłodowskiej-Curie, najczęściej cytowanym polskim uczonym. A obok Banacha byli inni: Wacław Sierpiński, Stanisław Zaremba, Hugo Steinhaus, Karol Borsuk, Tadeusz Ważewski. Zaczęto mówić o Lwowskiej Szkole Matematycznej i Warszawskiej Szkole Matematycznej. Po drugiej wojnie światowej polska matematyka nie utrzymała chyba aż tak wysokiej pozycji, jaką miała przed wojną, ale dalej nasi matematycy utrzymują się w czołówce światowej. Warto o tym pamiętać, niewiele jest bowiem dyscyplin nauki, w których polscy uczeni osiągają tyle rezultatów światowej rangi, co w matematyce.

Dr Krzysztof Ciesielski, matematyk

Uwagi.