Dokonano na mnie czegoś, 
co można umownie nazwać plagiatem moralnym 
– odarcia z czci dla podkreślenia własnego prestiżu.

Antoni Smoluk

W styczniowym numerze „FA” opublikowałem artykuł o minimach programowych z matematyki. Artykuł został skomentowany przez profesora Andrzeja Pelczara w numerze marcowym „FA”. Prof. Pelczar zabrał głos jako przewodniczący RGSzW i poświęcił mej skromnej osobie całą szpaltę. Długo się zastanawiałem, czy zabrać głos raz jeszcze. Zadecydowała o tym koleżanka: – Wiesz, profesor Pelczar zbija twoje wywody punkt po punkcie. Ta wypowiedź zaważyła.

Komentarz prof. Pelczara widzę w dwóch aspektach: etycznym i merytorycznym. Stronę etyczną zostawiam na później. Liczę również na wypowiedzi kolegów, ciekaw jestem, co myślą o tego rodzaju naukowych komentarzach. Na początek pragnę podziękować panu Andrzejowi Pelczarowi, profesorowi matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, byłemu rektorowi tegoż uniwersytetu, byłemu przewodniczącemu Polskiego Towarzystwa Matematycznego, czynnemu przewodniczącemu Rady Głównej Szkolnictwa Wyższego etc., za jego krótki a treściwy komentarz. Podał bowiem elegancki dowód mej głównej tezy, że absolwenci matematyki są niedouczeni. Ja mówię o przeciętnych absolwentach, a prof. Pelczar uogólnił tę hipotezę również na absolwentów nieprzeciętnych. Po przeczytaniu tego dowodu poczułem się jak okazjonalny rybak, który zarzuca wędkę licząc na karasia lub płoć jakąś, a wyciąga na brzeg pięknego szczupaka. Jednym słowem, prof. Pelczar sprawił mi wielką radość, ale i zasmucił – z matematyką polską jest bardzo źle.

TRZY PRAWDY

Ksiądz profesor Józef Tischner w swym wykładzie klasycznej filozofii wyróżnia trzy stopnie prawdy: świętą prawdę, tyż prawdę i g.... prawdę. Mój artykuł o minimach programowych jest pracą publicystyczną, a nie artykułem naukowym. Wypowiedzi są więc nieprecyzyjne, bo takie w informacyjnym czasopiśmie być muszą. W wielu sądach mogę się mylić i na pewno się mylę. Jest to żywa wypowiedź, czasami zabarwiona aluzją, czasami z lekką ironią i żartem, czasami celowo przesadzam w twierdzeniach. Robię to nie po to, aby kogokolwiek poniżać, lecz dla dobra matematyki, dla dobra nauki. Piszę tak, aby czytelnik nie pozostał obojętny, by mógł przeczytać tekst ze zrozumieniem nawet wtedy, gdy nie jest z wykształcenia matematykiem. Zdarza się, że urywam myśl w pół zdania licząc na domyślność. Tak było z anegdotą o Newtonie. Prof. Pelczar mówi ogólnie o zadziwiających fragmentach mej wypowiedzi, a koncentruje się tylko na dwóch problemach. Pierwszy dotyczy zbioru nieskończonego, a drugi ciągu. Jego wypowiedź można streścić w jednym zdaniu. Autor – to znaczy Antoni Smoluk – nie rozumie tych terminów, a przecież to są elementarne pojęcia, z którymi każdy wykształcony człowiek jest obeznany. Nie można więc z nim dyskutować, albowiem jest ignorantem w sprawach matematycznych. Z ignorantem nie można dyskutować, jest to bez wątpienia święta prawda. Tym bardziej ignorant nie może układać minimów programowych. Jest to również święta prawda.

Matematykowi wystarczy porównać to, co napisał prof. Pelczar, z tym co ja napisałem. Prawdę sam znajdzie. Objaśnienie piszę dla nieznających żargonu matematycznego, wreszcie dla tych, co uwierzyli, że prof. Pelczar obala moje argumenty krok po kroku. Mam nadzieję ponadto, że replika ta może się również przyczynić do popularyzacji matematyki, bo przecież matematyka i nauka jest celem nadrzędnym.

PROBLEM 
NIESKOŃCZONOŚCI

Rozpocznę od stwierdzenia, że w nauce nie ma świętej prawdy, a jest tylko tyż prawda – jej drugi poziom, według klasyfikacji ks. Tischnera. Różne niesprzeczne wewnętrznie teorie są w takim samym stopniu prawdziwe w sensie naukowym. Ich aksjomaty mogą się nawet wzajemnie wykluczać. Mogą więc być dwa sądy sprzeczne, ale oba jednakowo prawdziwe lub fałszywe. W matematyce zbiory dzieli się na skończone i nieskończone. Zbiory skończone mają tę charakterystyczną własność, że każdy podzbiór właściwy tego zbioru ma mniej elementów niż cały zbiór. Modele zbiorów skończonych, oprócz zbioru pustego, łatwo podać. Słońce i Księżyc, mężczyzna i kobieta, kółko i krzyżyk – to przykładowe modele zbioru dwuelementowego albo modele dwójki – liczby 2. Oczywiście, w zbiorze dwuelementowym jest więcej elementów niż w zbiorze jednoelementowym. Czy istnieją inne zbiory oprócz zbiorów skończonych? To znaczy, czy istnieją zbiory, które są równoliczne ze swoimi podzbiorami właściwymi? Takie zbiory, jeśli istnieją, w matematyce nazywa się zbiorami nieskończonymi. Czy istnieją w przyrodzie modele zbiorów nieskończonych? Myślę, że nikt tego nie wie, z wyjątkiem prof. Pelczara, który nie tylko potrafi podać przykład zbioru nieskończonego, ale jeszcze dodaje, że jest to najprostszy zbiór nieskończony.

Aby mieć liczby naturalne, trzeba wcześniej przyjąć absolutny aksjomat istnienia zbioru nieskończonego. Liczby naturalne są pochodną tego aksjomatu. Istnieje zbiór liczb naturalnych, bo wcześniej zadeklarowaliśmy istnienie zbioru nieskończonego. Czy uniwersum jest skończone, czy nieskończone, tego nie wiemy. Aksjomat nieskończoności weryfikuje się tylko pośrednio. Potwierdzają go prawa nauki oparte właśnie na tym aksjomacie. Matematyka ciągła ma ważne i liczne zastosowanie i te właśnie zastosowania są potwierdzeniem aksjomatu nieskończoności. Nie oznacza to jednak, że istnieje model zbioru nieskończonego. Jeśliby nawet istniał, nie byłoby innej metody weryfikacji tej hipotezy, jak tylko wspomniana wyżej – przez zastosowania matematyki. Czy istnieje zbiór nieskończony, nie wiemy, podobnie jak nie wiemy, dlaczego ziemia się kręci. Taki jest właśnie sens przytoczonej przeze mnie anegdoty o Newtonie. Z czysto praktycznych względów wygodnie jest przyjąć, że taki zbiór istnieje. Oprócz omówionego tu krótko pojęcia nieskończoności aktualnej, istnieje jeszcze nieskończoność potencjalna: wszystkie zbiory są skończone, to prawda, ale mogą być dowolnie liczne. Tyle na temat nieskończoności.

PODSTAWĄ JEST CIĄGŁOŚĆ

A co można powiedzieć o ciągach? Utożsamiam go z szeregiem, a prof. Pelczar mówi, że tego nie można robić. Aby odpowiedzieć na pytanie, czy ciąg jest synonimem szeregu, dobrze jest wiedzieć, co to takiego ciąg, czym jest szereg i jakie własności ma relacja „być synonimem”. Podkreślić pragnę, że mowa tu tylko o ciągach i szeregach liczbowych. Żadnych innych!

A więc, zdaniem prof. Pelczara, szereg nie jest synonimem ciągu. Czym więc jest szereg? Czy szereg to może ciąg sum częściowych? Ciąg zapisuje się oddzielając jego wyrazy przecinkami. Jeśli w miejsce przecinków postawi się krzyżyki, to natychmiast pojawia się szereg.

Zanim postąpię dalej w objaśnianiu, czym jest szereg a czym ciąg, pragnę zaznaczyć, że w matematyce obiekty izomorficzne utożsamia się. Na tym utożsamieniu polega istota matematyki. Zasada abstrakcji jest dla wielu barierą na drodze do matematyki. Bez tej zasady nie ma jednak nauki. Multiplikatywną grupę liczb rzeczywistych dodatnich utożsamia się z addytywną grupą wszystkich liczb rzeczywistych. Dlatego wszystkich uczniów traktuje się logarytmami. Operator, który przestrzeń liniową ciągów odwzorowuje w ciągi sum częściowych, jest operatorem wzajemnie różnowartościowym, a więc odwracalnym. Jest to oczywiście automorfizm wspomnianej przestrzeni liniowej ciągów. Mając ciąg wyrazów potrafię utworzyć ciąg sum częściowych, mając ciąg sum częściowych potrafię odtworzyć z niego ciąg wyrazów.

W swym artykule o minimach piszę, że dobrze jest ciąg nazywać ciągiem wtedy, gdy myślimy o jego granicy, czyli badamy ciągłość. Ta ciągłość ciągu została wyśmiana przez prof. Pelczara jako rzecz banalna i niezbyt rozsądna. Jeśli zbiór liczb naturalnych powiększymy o punkt w nieskończoności, to – pomijając szczegóły techniczne – otrzymamy przestrzeń metryczną zwartą: odległość od jedynki do nieskończoności jest 1, liczbę 2 kładziemy w połowie drogi pomiędzy tymi ekstremami, w środku pomiędzy dwójką a nieskończonością umieszczamy trójkę i tak dalej. Wszystkie funkcje ciągłe o wartościach rzeczywistych określone na tej przestrzeni tworzą przestrzeń liniową izomorficzną z przestrzenią wszystkich ciągów zbieżnych. Pojęcie granicy ciągu i ogólnie granicy funkcji w punkcie, choć wygodne i dobre ze względów dydaktycznych, ma charakter pomocniczy. Może więc być bez uszczerbku dla treści wyeliminowane z całej matematyki. Funkcja ma bowiem granicę w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciągłe rozszerzenie tej funkcji. Szczegóły z konieczności pomijam. Podstawą jest ciągłość. Z tego faktu powinien zdawać sobie sprawę prof. Pelczar jako wybitny matematyk. Napisane to jest w skryptach dla studentów ekonomii i – o ile dobrze pamiętam – w książce prof. Kleinera. Moje, zdaniem prof. Pelczara, pomieszanie ciągłości ze zbieżnością budzi jego przeogromne zdumienie. Cóż, dziwię się przeogromnie, że mój Szanowny Kolega tych prostych prawd nie dopuszcza do świadomości. Czym się kieruje? Nie wiem.

PIRAMIDALNE 
NIEPOROZUMIENIE

Dalej prof. Pelczar pastwi się nad moją wypowiedzią o ciągach całkowalnych. Najpierw krótko wyjaśnię, czym jest całka. Jest to funkcjonał liniowy ciągły i – zwykle – monotoniczny. Taka jest definicja całki dla przeciętnego matematyka. Dla ekonomisty całka jest ceną. Funkcja całkowalna jest koszykiem dóbr, a miarą – kasa. Kasjerka nic innego nie robi, jak tylko cały dzień oblicza całki. Całką jest więc suma ciągu, ale również całką jest granica ciągu. Są to dwie różne całki. Sumowanie ciągów i ich limesowanie – z punktu widzenia abstrakcyjnego – jest tym samym: całkowaniem. Termin „ciąg limesowalny” jest wprowadzonym przeze mnie odpowiednikiem ciągu sumowalnego. Prof. Pelczar uważa ciąg limesowalny za potworka językowego. No cóż, de gustibus... Jest to wygodny termin kolokwialny, po raz pierwszy użyty na piśmie w artykule o minimach z matematyki. Był to właśnie ten haczyk, na który chciałem złapać nie więcej niż płotkę. Złapał się – Bogu dzięki – szczupak. Całkowalność ciągów jest, w opinii prof. Pelczara, piramidalnym nieporozumieniem. Ciekawe, czy prof. Pelczar słyszał o całkowych kryteriach sumowalności ciągów?

Dla odprężenia przypomnę anegdotę o Laskerze, znanym szachiście. Jakiś przygodny podróżny zaproponował mu partyjkę szachów. Lasker zgodził się chętnie i dla wyrównania szans zdjął z szachownicy swoją królówkę. – Dlaczego pan to robi? – zapytał podróżny. – Przecież nie wie pan, jak gram. – Właśnie dlatego – odpowiedział Lasker. Prof. Pelczar zostawił sobie tylko króla i liczy na wygraną. A przecież król jest tutaj istotnie nagi. Święta prawda – piramidalne nieporozumienie. Jak widać, cały komentarz prof. Pelczara redukuje się do prawd trzeciego poziomu w klasyfikacji ks. Tischnera. Najbardziej zadziwiająca jest w tych warunkach jego konkluzja. Chyba że w końcowym wniosku swego raportu myśli tylko o sobie.

EKONOMIA MYŚLI

Każdemu mogą się przytrafić i przytrafiają błędy. Nie jesteśmy, niestety, od nich wolni. Jak zachowa się człowiek honoru, gdy popełni błąd? Przyznaje się do tego i przeprasza. Szaleniec strzela sobie w łeb. Przeciętny polski naukowiec dowodzi we wszystkich instancjach, że on ma tak zwaną rację, że inaczej być nie może, bo on się z tym nie zgadza, on jedynie ma patent na prawdę i może wyrokować jak mu się podoba. W nauce nie ma dyskusji. Jeśli zgodzimy się na określone aksjomaty, warunki początkowe, to dalej nie może być już dowolności. Dobrze zastosowane reguły wnioskowania gwarantują bezdyskusyjne wnioski. Można więc spierać się o wybór aksjomatów. Ustalenie minimów programowych ma charakter właśnie takiego wyboru warunków początkowych. W minimach programowych nie ma ogólnej teorii miary i całki, nie ma przeglądu podstawowych struktur matematycznych. A przecież język izomorfizmów i stałe odwoływanie się w wykładzie matematyki do struktur matematycznych daje wielkie oszczędności czasowe. Jest to ekonomia myśli.

Gdyby tych prostych prawd dobrze uczono matematyków, nie byłoby uwag prof. Pelczara, uwłaczających nie tylko godności profesorskiej, ale przeciętnemu matematykowi po studiach uniwersyteckich. Podejrzewam, że komentarz do mej wypowiedzi wyszedł spod pióra tego samego asystenta, który spreparował słynne minima programowe. Trzeba być człowiekiem bardzo odważnym i pewnym siebie, by napisać coś podobnego. Należy pamiętać, że pisze to – a może tylko firmuje – przewodniczący Rady Głównej, a więc marszałek parlamentu akademickiego. Pisze na łamach specjalnie dla niego zarezerwowanych, a więc jakby w dzienniku urzędowym. W tym dzienniku ma odwagę uważać kolegę – z bocznej linii i podejrzanej proweniencji, ale zawsze kolegę – za ignoranta, bo ten zakwestionował oficjalny dokument Rady Głównej. Złość jest najgorszym doradcą. Minima programowe zostały ocenione negatywnie przez dziekanów wydziałów matematyki i dyrektorów instytutów matematyki. Wspomina o tym prof. Julian Musielak w swym zrównoważonym artykule, opublikowanym również w marcowym numerze „FA”. Wygląda na to, że przewodniczący Rady Głównej znalazł we mnie kozła ofiarnego i całą żółć wylał na mą głowę. Strona merytoryczna tej sprawy jest jasna – konfabulacja. Strona etyczna jest także jednoznaczna. Dokonano na mnie czegoś, co można umownie nazwać plagiatem moralnym – odarcia z czci dla podkreślenia własnego prestiżu. Najgorsze wzorce walki politycznej przenosi się do nauki.

PO TRZYKROĆ 
DESTRUKCJA

W 1997 roku wygłosiłem na zjeździe Polskiego Towarzystwa Matematycznego w Zielonej Górze komunikat o skończonych zbiorach uporządkowanych mających własność punktu stałego. Przy okazji wspomniałem – zaznaczając, że jest to prawda folklorystyczna – o twierdzeniu utożsamiającym skończone zbiory uporządkowane z podzbiorami liczb naturalnych uporządkowanymi przez podzielność. W zbiorach skończonych wszystkie porządki są tożsame z podzielnością liczb naturalnych. W dyskusji zapomniano o głównej tezie mego wystąpienia, a skupiono się tylko na tej marginalnej uwadze: Gdzie to jest napisane? Gdy odpowiedziałem, że m.in. w skrypcie dla studentów ekonomii, natychmiast zakwestionowano prawdziwość oczywistej tezy. Więcej, główny oponent podał nawet kontrprzykład. W jego opinii są nim struktury modularne. Sprawę tę obnażyłem w innym miejscu, a tu ją przypominam, rysuje mi się bowiem pewna prawidłowość. Żyjemy w niezwykle demokratycznych czasach. Kłamstwo zaaprobowane przez większość i sto razy powtórzone staje się prawdą. Także prawdą naukową. Jeśli tysiąc osób przez kwadrans na stojąco oklaskuje dowód twierdzenia, to dowód jest poprawny. Istota dowodu? Zrozumienie? Kto by się tym martwił. Jest przecież tak pięknie.

Można wyodrębnić w Polsce grupę matematyków, którzy uważają, że tylko oni mają prawo decydować o tym, co jest prawdą i kto jeszcze oprócz nich jest upoważniony do jej głoszenia. Uważam, że ci właśnie ludzie doprowadzili polską matematykę do stanu, w którym się znajduje. Gratuluję. Ja jestem przeciw. W artykule o minimach programowych napisałem, że wdrożenie tych minimów jest destrukcją. Wypowiedź swą złagodziłem przeprosinami za posłużenie się nadużywanym przez polityków określeniem. Teraz powtarzam: jest to po trzykroć destrukcja. Istotą nauki jest piękno formalne i prawda, istotą nauki jest więc matematyka. Nauka zawsze objaśnia i rozwiązuje węzły, nie mota tego, co oczywiste i proste. Prof. Pelczar w swym komentarzu popisał się wiedzą tak głęboką, że przekopał się na wylot. Skrajności połączyły się – absolutna wiedza z absolutną moralnością. Jest to moralność nietzscheańska w niewolniczym wydaniu – by się podwyższyć, stąpa się po głowach kolegów. Wychodzisz na spacer, liczysz na miłą rozmowę w gronie znawców – stąd uwaga o zarzuconej przynęcie – a miast tego zostajesz pobity i obrabowany. Rozmontowuje się matematykę, a ty masz milczeć pod groźbą szantażu – obwołamy cię ignorantem. O tempora! Nie mieści się to w głowie. Czas umierać. Finis mathematicae!

Prof. dr hab. Antoni Smoluk, ekonometra, jest kierownikiem Katedry Matematyki Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu.

Uwagi.