Tuwim o matematyce

Po co przyszłemu poecie znajomość matematyki? Żeby umiał policzyć sylaby w sonecie? Dwudziestokilkuletni Julian Tuwim tak rymował swoje przeżycia w znanym wierszu Nauka (1923):

Nauczyli mnie mnóstwa mądrości,
Logarytmów, wzorów i formułek,
Z kwadracików, trójkącików i kółek
Nauczali mnie nieskończoności.

Jedzie potem równo po biologii, chemii i fizyce, żeby podsumować:

Różne rzeczy do głowy mi wkuli,
Tumanili nauką daremną.

I nic nie wiem, i nic nie rozumiem,
I wciąż wierzę biednymi zmysłami,
Że ci ludzie na drugiej półkuli
Muszą chodzić do góry nogami.

Ileż to pokoleń udręczonych uczniaków powtarzało po nim te słowa! A to nie był koniec rozprawy Tuwima z matematyką. Pięć lat po publikacji Nauki pisze Matematykę. Wiersz zaczyna się z pozoru dziwacznie i niezrozumiale, jakby dotyczył czegoś zupełnie niematematycznego:

Kościele powszechny!
Ucieczko przed mroczącym moje zmysły biesem!
Jedyna prawdy opoko,
O, celne z wieczności Oko,
Patrzące na mnie bezkresem!

Ale karty zostają szybko wyłożone na stół:

Liczbo zbawicielko!
Wyniknij! Stań się! Wskaż mi!
Nieubłaganym WZOREM
Ujmij, przemianuj, ujarzmij!

Oto kwadrat. I nic prócz prostego kwadratu.
W uwięzi czterech linii zamknięta sprawa jedyna.
O, matematyko cierpka! Dałaś ty radę światu!
Zadrwiłaś z Boga i Czarta, o, heretyczko okrutna!
Kwadrat w chaos się wcina,
I piękniejszego nie ma poematu!

Oto skończoność, wiedza, ostateczność,
Dumna jedyność radosnego Prawa,
Że czterema liniami stworzyłem konieczność.
Nic się tutaj nie dzieje. Trwa powzięta Sprawa.

A więc to matematyka jest tym „kościołem powszechnym”, potęgą jednoczącą, wprowadzającą ład i harmonię w świat, przenoszącą go, i nas wraz z nim, w wieczne, niezmienne istnienie. Teraz można rozprawić się z prawdziwym Kościołem:

Chrystusie! Gdybyś nie miał tej krwi gorejącej,
Co w niebo Cię porwała, by prawdę objawić,
Gdybyś dzień dłużej dumał, surowy, milczący,
Musiałbyś z linii prostych figurę ustawić
I nie męczyć nas krzyżem - ale cyrklem zbawić!

Poeta rzekł, a my martwmy się, co chciał powiedzieć. Czyżby nawrócił się na drogę do nieskończoności przez „kwadraciki, trójkąciki i kółka”? Czy zapomniał już o tych chwilach, kiedy to, z powodu złych stopni, w czasie wakacji:

Idę na hamak - z nienawistną
Książką, bodaj ją dunder świsnął,
Mistyczną, apokaliptyczną,
Z abrakadabrą liter greckich,
Szatańskich szyfrów, cięć zdradzieckich:
Z kabałą trygonometryczną.
(Kwiaty polskie, 1940-44)

Kilka stron dalej natkniemy się na fragment poświęcony innej książce, którą „czytam, miotany”. To poezje Leopolda Staffa. Na ich marginesie pojawiły się pierwsze próby poetyckie zauroczonego czytelnika, który przeniósł się już z hamaka do altany.

Skąd jednak w Matematyce takie nagromadzenie wykrzykników i hymnicznych wezwań, zbyt gęste nawet jak na młodzieńczą poezję? Skąd ten zaczepny ton w stosunku do Chrystusa, któremu poświęcił kilka wzruszających wierszy? Czy nie sugeruje to, że pisząc Matematykę Tuwim chciał po prostu wykpić urojenia o rozwiązaniu wszystkich problemów człowieka przez wniknięcie w ukrytą, matematyczną naturę „wszystkiego”? Gdzie i kiedy zetknął się z tą ideą, przewijającą się poprzez historię intelektualną świata zachodniego co najmniej od bractwa pitagorejczyków (VI w. p.n.e.)? Nie wiem. Ale wyraźnie mu się nie spodobała.

Matematyka rzeczywiście ma te cechy, które są jej przypisane w Matematyce: konieczność, ostateczność, bezczasowe trwanie, prostota, jasność i... piękno. Niejeden z matematyków wspominał młodzieńczą lekturę Elementów Euklidesa z takim samym rozrzewnieniem, jak Tuwim wiersze Staffa. Rzeczywiście, nagłe uświadomienie sobie nieuchronności, jakby niezwykłej „twardości” logicznej struktury powiązań prowadzących do twierdzenia matematycznego, może pozostawić trwały ślad zachwytu po spotkaniu z „dumną jedynością radosnego Prawa”. Piękno martwej natury? W jakimś sensie tak - tu nic się nie dzieje, tu wszystko trwa bez zmian. Czy aby na pewno? Nie wszyscy matematycy by się z tym zgodzili, to przecież człowiek tworzy matematykę.

Dygresja pierwsza

Skończoność, wiedza, ostateczność, jedyność, konieczność. Uznał to nawet poeta. Ale kiedy Tuwim pisał te słowa, matematyka wchodziła w wiek dojrzałej samowiedzy, która postawiła wszystkie te cechy w nowym świetle. W 1931 roku Kurt Goedel pokazał, że arytmetyki nie można zbudować na skończonym zespole przyjętych założeń. Jak byśmy go nie rozbudowywali, zawsze pozostaną takie własności liczb naturalnych, których nie będziemy mogli ani udowodnić, ani obalić.

Liczb naturalnych jest dużo, nieskończenie dużo, a punktów na prostej jeszcze więcej, nie można ich ponumerować. Dalej możemy tworzyć zbiory jeszcze liczniejsze i jeszcze liczniejsze, i tak w nieskończoność. Ponad 100 lat temu Georg Cantor oswoił te nieskończoności. Weźmy więc jakąś rodzinę zbiorów, wybierzmy z każdego zbioru po jednym elemencie i wrzućmy do nowego zbioru. Dopóki poszczególne zbiory i ich rodzina są skończone, nie ma problemów. A jeżeli mamy do czynienia z nieskończenie dużymi zbiorami? Załóżmy, że też możemy. Matematycy nazywają to pewnikiem wyboru. W 1924 roku polscy matematycy, Stefan Banach i Alfred Tarski, pokazali posługując się pewnikiem wyboru, że można podzielić sferę na kilka części tak, by można było zestawić z nich dwie sfery o takiej samej powierzchni jak sfera wyjściowa. Cudowne rozmnożenie sfer? Tak, jeżeli zgodzimy się na pewnik wyboru. Niektórzy matematycy nie zgodzili się i budują matematykę bez pewnika wyboru, ale i bez wielu innych użytecznych twierdzeń. W każdej z tych wersji (z pewnikiem wyboru lub bez) i tak pojawią się zdania, których nie można udowodnić na podstawie już przyjętych założeń, więc znowu można je lub ich zaprzeczenie dołączyć do zbioru aksjomatów, otrzymując dwie nowe wersje matematyki itd. No więc, jak to jest z tą „jedynością” i „ostatecznością”? Mamy jednak wybór i to w niejednej matematycznej „Sprawie”. Ale jak już dokonamy wyboru, to sprawa rzeczywiście „trwa”, przynajmniej w wybranej przez nas wersji. Chyba, że się pomylimy, ale wtedy koledzy sprawdzą i poprawią... Czy aby na pewno?

Kilka miesięcy temu w „Annals of Mathematics” ukazał się artykuł z adnotacją, że zespół dwunastu recenzentów po czterech latach pracy nie był w stanie sprawdzić poprawności dowodu przedstawionego tam twierdzenia. Dlaczego? Bo dowód jest oparty na wynikach obliczeń komputerowych, a program był zbyt skomplikowany, żeby prześledzić wszystkie jego szczegóły. No i jak to jest z „wiedzą” matematyczną? Niektórzy mówią o matematyce eksperymentalnej, inni twierdzą, że to w ogóle nie jest matematyka i trzeba poczekać na „radośnie prawdziwy” i przede wszystkim zrozumiały dowód. Wróćmy więc tymczasem do poezji Tuwima.

Wiersz Spostrzeżenie dotyczy tak zwanej „matematyki stosowanej”:

W naturze nie ma linii prostej,
Ludzki to wymysł sztuczny,
Patrząc w skłębione żyworosty,
Chaosu, chaosu się uczmy.

Pogięty, kręty i strzępiasty
Jest każdy stwór w naturze,
A prostą linią łączą gwiazdy
Głupcy i tchórze.

Brzmi to jak manifest kontrkultury matematycznej, zabawiającej się badaniami chaosu i wszelakich strzępiastych „wynaturzeń”, czyli fraktali. A prostota, Tuwimowski „kwadrat”, jest dla..., hmm..., lepiej nie powtarzać, bo jeszcze ktoś się obrazi.

Dygresja druga

Odkrycie, że skomplikowane, nieprzewidywalne w dłuższej perspektywie czasowej zachowania pewnych układów czy podobnie skomplikowane „strzępiaste” struktury mogą być opisane zadziwiająco prostymi równaniami matematycznymi, przetoczyło się jak burza przez matematykę „czystą” i zmatematyzowane przyrodoznawstwo. Zapoczątkowane 30-40 lat temu komputerowe badania modeli matematycznych atmosfery, wahadła, populacji biologicznych, reakcji chemicznych itd., itd. oraz zaskakująco piękne komputerowe grafiki generowane przez rozwiązania prościutkich równań, zrodziły matematykę nieliniową. Wydawało się, że komputer i obrazki będą jej głównymi narzędziami. Powstał termin „matematyka eksperymentalna” wraz z ideologią głoszącą prymat „faktu matematycznego” nad dowodem matematycznym.

A jednak... Ci od prostych linii i klasycznych dowodów (jak by tu ich nazwać?) wiedzieli o istnieniu tych dziwolągów przynajmniej od końca XIX wieku. Tyle, że nikt nie zorientował się, jak ważne są to problemy i dla matematyki, i dla nauk przyrodniczych. Obliczenia numeryczne zajmowały jeszcze zbyt wiele czasu i trzeba było poczekać aż rozpowszechnią się komputery. W końcu przyszła pora na numerykę i obrazki. Jednak oglądanie dużej ilości poskręcanych dziwaczne linii też może być męczące i trzeba było poszukać w tym wszystkim jakiegoś ładu. Abstrakcja wkroczyła i w tę dziedzinę. Dynamika nieliniowa staje się normalną częścią matematyki. Już nie wystarczają same obrazki...

Czy warto więc dać skosztować przyszłym poetom „cierpkiej matematyki”? Spróbować przerzucić most ponad przepaścią dzielącą dwie kultury: humanistyczną i matematyczno-przyrodniczą? Tuwim lekko przeskakiwał tam i z powrotem, dobrze się przy tym bawiąc, jak np. w Wierszu (1933):

Gdy wiem,
że wiersz
powstanie,
w klamrę nawiasu zamykam
świat
i przed nawiasem stawiam
znak
funkcji, czynnika.

Wtedy zaczyna się działanie,
dźwięczne i szybkie rozmyślanie,
aż wiersz,
jak zadanie
algebraika
na czarnej tablicy wyraźnie wynika.

Potem
nawias otwieram,
uwięzione wypuszczam żywioły,
czarną tablicę z działań wycieram.

I wracam wesoły
do domu ze szkoły
i w domu z miłości umieram.

Niedawno minęło pięćdziesiąt lat od śmierci Tuwima. No cóż, klasyk, i to z niekwestionowaną pozycją w polskiej poezji. Matematyka mocno zmieniła się od jego czasów. Wraz ze swoją najnowszą macką, informatyką, anektuje stopniowo nie tylko biologię, ale i problemy zarezerwowane dotychczas dla nauk humanistycznych. Czy jakiś poeta odważy się jeszcze zastąpić jej drogę? Czy w ogóle o tym pomyśli? Nie pomijajmy więc „cierpkiej” matematyki w wykształceniu współczesnego człowieka. W przeciwnym wypadku może się okazać, że pewnego dnia wylądujemy na czarnej tablicy w postaci kodu alfanumerycznego, zamkniętego nawiasem, i nie będzie nikogo, kto potrafi nas stamtąd wypuścić.

Dr hab. Jacek Waniewski, biocybernetyk, pracuje w Instytucie Biocybernetyki i Inżynierii Biomedycznej PAN w Warszawie.